Объём шара




Скачать 150.25 Kb.
НазваниеОбъём шара
Дата конвертации04.02.2016
Размер150.25 Kb.
ТипУрок







Предмет

Класс

Геометрия.

11 – общеобразовательный (базовый уровень).




Тема урока

Объём шара.




Цель урока

  • вывести формулу объёма шара;

  • рассмотреть задачи на применение этой формулы.







Знать/понимать

  • определение шара и его элементов;

  • формулу объёма шара (через радиус);

  • формулу объёма шара (через диаметр);

  • формулы отношения объёмов двух шаров.




Уметь

  • выводить формулу объёма шара;

  • решать задача, опираясь на изученную формулу;

  • проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, определения, свойства.







  • ноутбук учителя.

  • мультимедиа проектор.

  • интерактивная доска.

  • индивидуальные ноутбуки учеников.




Средства обучения



  • учебник „ Геометрия “ (авт. Атанасян Л.С. и др.)

  • электронное учебное пособие по теме „Объём шара“

  • тест „ Проверь себя“.







Алгоритм урока



- новый материал; - актуализация знаний;

- контроль знаний; - отработка навыков.




Этап 1.

Организационный момент.



Вводное слово учителя. Мотивация. Структура урока.






Максимова Т.В. 210-420-218



Этап 2.


Актуализация зон ближайшего развития, усвоенных, опорных ЗУН





Ребята! Вы уже научились находить объёмы некоторых многогранников (параллелепипеда, призмы, пирамиды) и круглых тел (цилиндра, конуса).

Сейчас вашему вниманию предлагается

учебное пособие по теме „Объём шара“.

  В процессе работы с данным пособием вы:

  • познакомитесь с формулой объёма шара;

  • рассмотрите различные варианты вывода этой формулы; 

  • научитесь применять формулу объёма шара при решении задач;

  • пополните свой кругозор интересными фактами из истории математики;

  • проверить свои знания при выполнении тестовой  работы.



В  современных учебниках  формулы для  вычисления объёмов многогранников и круглых тел   выводятся на основе  интегральной формулы. Но этот простой и изящный способ появился благодаря трудам  Г. Лейбница  и других учёных гораздо позднее того как были открыты сами формулы. 

 Вам предлагается два варианта вывода формулы объёма шара.  Познакомьтесь с обоими. Выберите и постарайтесь  запомнить тот вариант, который вам белее близок и понятен. Сделайте необходимые записи в тетради.

Пополните  свой   блокнот - справочник  по  геометрии  следующей

   таблицей:   

Vш.

(через радиус)

Vш.

(через диаметр)

V1  :  V2

Vш.  :  Vцил.

Учёные

 

 

 

 

 






Фаза вызова

(мозговой штурм)


Фаза

осмысления

и

рефлексии.

Максимова Т.В. 210-420-218



Этап 3.


Изучение нового (формирование новых ЗУН)


В




Вывод формулы объёма шара (1)

Для вывода формулы объёма шара воспользуемся методом координат который  ввёл в геометрию Рене Декарт.

Поместим шар радиуса R в систему координат, где ось Ох выбрана произвольно.

Пересечём шар плоскостью, которая перпендикулярна

оси Ох и проходит через точку М этой оси. В сечении получится круг.

 Итак:     О - центр шара, R - радиус шара,   -R ≤ х ≤ R               

  М - центр круга,  М(х;0;0),   r - радиус круга,

S(х) - площадь круга, где х - абсцисса точки М.

Рассмотрим прямоугольный  ∆ ОМС. По теореме Пифагора 

МС² = ОС²  – ОМ²,  r ² = R² – x²,

 Так  как   S(х) = πr² , то  S(х) = π(R²  - x² ).  Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел  при  а = - R  и  в = R , получим

d:\объём\копия\учебное пособие. объём шара\нов1.gif

Итак:    


  Вывод формулы объёма шара (2).


О
Пусть дан полукруг с центром в точке О и

диаметром  АВ = 2R.


АА
В плоскости полукруга введём прямоугольную систему координат с началом в точке О и  осью абсцисс ОА.  

 Полукруг является частным видом  криволинейной трапеции. Он ограничен осью абсцисс и графиком функции  .  При вращении данного полукруга вокруг оси абсцисс получается шар. Найдём его объём, пользуясь формулой объёма вращения фигуры





Фаза осмысления.

(инсерт)


Фаза осмысления.

(инсерт)










Итак:


Максимова Т.В. 210-420-218







Этап 4.


Закрепление знаний.





Задача 1.

В практических приложениях часто указывается диаметр (D) шара.

                                Какую формулу объёма шара целесообразно использовать в подобной ситуации?


Решение.

Так  как . Тогда




Ответ:

Задача 2. Найдите отношение объёмов двух шаров, если:

а) их радиусы соответственно равны  R1  и  R2;

б) их диаметры соответственно равны  D1  и  D2.





Фазы

вызова

и

осмысления


Максимова Т.В. 210-420-218






Решение.

Рассмотрим два шара, объёмы которых соответственно равны V1 и  V2.

Тогда объёмы этих шаров относятся как кубы их радиусов (диаметров).





Итак:


Задача 3. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли

мороженое стаканчик, если оно растает?

В

А

12

О

Р

Решение.

1) Найдём объём стаканчика, имеющего коническую

форму. Так как АВ = 5см, то ОВ = 2, 5см.

Пользуясь формулой,

получаем

2) Сумма объёмов двух полушарий равных диаметром равна объёму шара с тем же диаметром. Найдём объём шара с диаметром  CD = 5 см.



3) Сравним полученные объёмы:      Vk. > Vш.

Ответ:   растаявшее мороженое стаканчик не переполнит.





Максимова Т.В. 210-420-218




Задача 4. Из деревянного  равностороннего цилиндра выточен наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено?

Решение.

1) Из условия задачи следует, что осевым сечением шара является квадрат. Тогда  высота цилиндра  равна диаметру шара, т.е. H = 2R.

2)  . С учётом первого действия 

3)  Найдём, сколько сточено материала:

4)  Найдём, сколько % составляет сточенный материал:

Ответ:

Задача 5 (решите задачу, заполняя пропуски)

В конусе образующая равна  m и составляет с основанием угол β.  Найдите  объём вписанного шара.

Дано:  конус, SA = m,   < SAO = β,

Найти:  V шара.     

Решение.

  1) Vш. = ...

2) Центр вписанного шара лежит в точке К - пересечения высоты SO и AK - ... OK -   радиус шара;

3) находим ОК  из ∆ АОК.  Имеем  , тогда OK = …

4) Находим AO из ∆ ASO. Имеем ..., тогда AO = ...=...

5) Находим ОК, используя результаты действий 3 и 4.   ОК = …

6) Ответ:




Максимова Т.В. 210-420-218






Решение (проверка).

1) , т.е       


2) Центр вписанного шара лежит в точке К  пересечения высоты SO

  и AK - биссектрисы < SAO,    OK -   радиус шара;

3) Находим ОК  из ∆ АОК.  Имеем    , тогда

4) Находим AO из ∆ AOS.  Имеем ,  тогда  

5) Находим ОК, используя результаты действий  3 и 4:    

6)

Задача 6 (решите задачу, заполняя пропуски).

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3 см, а боковое ребро равно 2 см. Найдите объём описанного шара.

Дано:  SABC - пирамида,

AB=BC=AC,

SA = 2см,

AB = 3 см.  

Найти:  Vшара 

   Решение.





Максимова Т.В. 210-420-218






1) Vшара=...

2) Центр шара находится в точке К пересечения высоты  SO  и  MK,  где MK        SA,   M -  середина AS (AM=...=...см),   тогда KS - ... описанного шара.

3)  Так как ∆KMS~∆ASO, то KS : AS = ... :  ..., откуда  KS = AS · MS :  ...

  Остаётся найти  OS.

4) OA - радиус окружности, описанной около правильного ∆АВС, тогда



5) Из ∆SAO:   ,          OS = ...   (см), 

6) Находим значение KS = ...  (см).

7) Находим объём шара:    V шара = ...

Решение (проверка).

1) , т.е

2) Центр шара находится в точке в точке К пересечения высоты  SO и MK, гдеMK      SA,   M -  середина AS  (AM = MS = 1 см), тогда   KS -радиус   описанного шара.

3) Так как  ∆KM ~ ∆ SASO,  то   KS : AS = MS : SO, откуда 

KS = AS · MS :  SO.  Остаётся найти  SO.

4) OA - радиус окружности, описанной около правильного   треугольника АВС,  тогда

5) из ∆SAO:   ,     

6) находим значение KS = 2∙1 :1 = 2(см).

7) находим объём шара:   

Ответ:





Максимова Т.В. 210-420-218



Этап 5.


Первичный контроль знаний.





Тест: „ Проверь себя “

1) Выбери формулу для вычисления объёма шара:

а) б) в) г)

2) Найдите радиус шара, если его объём равен 972см³:

а)    13см           б)    7см        в)    5см         г)    9см

3) Объём одного шара равен сумме объёмов двух других шаров. Как связаны между собой диаметры D1, D2,  D3   этих шаров?




4)  Радиус конуса равен 4 см, а высота равна 2 см. Найдите радиус шара, имеющего тот же объёма:

а)    2π             б)    2                    в)   8               г)   

5) У арбуза диаметр 20 см, а толщина корки 2 см. Какая часть арбуза приходится на корку? а)   0,25          б)   0,37                в)   0,488          г)   0,2 

6) В  шар вписан цилиндр с квадратным осевым сечением, а в него вписан новый шар. Отношение  объёмов исходного  и нового   шаров равно:

а)           б)              в)             г)   4

Задание

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

№ 6

Ответ

б

г

б

б

в

а






Фаза рефлексии.


Тест предназначен для проверки качества усвоения материала, и может быть пройден несколько раз.

Максимова Т.В. 210-420-218



Этап 6.


Подведение итогов урока.

Домашнее задание




Итак, подведём итог:

  • какой вариант вывода формулы вычисления объёма шара вам более приемлем?

  • с какими трудностями столкнулись вы при решении задач?

  • полностью ли вы заполнили таблицу в блокноте - справочнике?

           (завершите работу с таблицей, решив домашнюю задачу  в) ).

  • насколько успешно вы выполнили тест?

d:\объём\копия\учебное пособие. объём шара\нов4.gif Задание на дом:  

  • выучить вывод формулы нахождения объёма шара;

  • решите  задачи:

  • а) №711,

            б) свинцовый шар, диаметр которого равен 20 см, переливается в

шарики   диаметром  в 10 раз меньшим. Сколько таких шариков

получится? Какое данное в задаче лишнее?

            в) найдите отношение объёма шара, вписанного в цилиндр, к  объёму этого цилиндра.

            г) шарообразный приёмник газа имеет диаметр 9,22м. Какова его

вместимость? До скольких атмосфер сжат газ в газоприёмнике,

если в него  накачено 2500м³ газа при нормальном давлении?





Фазы

вызова

и

осмысления.

(З – Х - У)


Фазы

осмысления

и

рефлексии.

Максимова Т.В. 210-420-218

Похожие:

Объём шара icon«Энергияны үнемдейміз- астанамызды сақтаймыз» тақырыбында жобалау- зерттеу жұмысы бойынша конкурс ережесі
Мділігі және энергия үнемдеуге, табиғи ресурстарды сақтауда практикалық тұрғыдан қатысуға оқыту бойынша жұмыстарға тарту мақсатымен...
Объём шара iconЭкономика и средства массовой информации
Объем баварского товарооборота в 2008 году составил 285,6 млрд евро, из них объём экспорта – 155,7 млрд евро и импорта – 129,9 млрд...
Объём шара iconПлан: Закон идеального газа Первое начало термодинамики. Адиабатический процесс
Основными параметрами газа являются температура, давление и объём. Объем газа существенно зависит от давления и температуры газа....
Объём шара iconО результатах испытания метода долгосрочного прогноза уровней воды
«пробок» в русле), толщина ледяного покрова (характеризует прочность льда и объем ледяного материала), запасы воды в снежном покрове...
Объём шара iconНекоторые величины в физике, механике и других науках полностью определяются заданием одного числа. Например, объем, масса, температура и др. Такие величины
Например, объем, масса, температура и др. Такие величины называются скалярными. Но есть величины для задания которых необходимо знать...
Объём шара iconСфераиша р I
Найдите расстояние от центра шара с радиусом 6 см до плоскости сечения, радиус которого равен см
Объём шара iconК Государственной программе лесо- восстановления и облесения земель лесного фонда на 2003-2020 годы Объем лесных культур в Государственном лесном фонде и их распределение по главным породам
Объем лесных культур в Государственном лесном фонде и их распределение по главным породам
Объём шара iconСейлова шара аппазовна
Электрондық ҚҰралдар арқылы 8-сынып оқушыларының химия пәнінен танымдық белсенділігін арттыру
Объём шара icon3. Наименование, характеристики и количество поставляемых товаров, наименование и объем выполняемых работ, оказываемых услуг
Наименование, характеристики и количество поставляемых товаров, наименование и объем выполняемых работ, оказываемых услуг: приобретение...
Объём шара iconМасса гелия 36 кг. Масса оболочки и корзины шара 114 кг. Какой полезный груз может поднять этот шар?
Воздушный шар заполнен гелием при нормальных условиях. Масса гелия 36 кг. Масса оболочки и корзины шара 114 кг. Какой полезный груз...
Разместите кнопку на своём сайте:
kaz.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©kaz.docdat.com 2013
обратиться к администрации
kaz.docdat.com
Главная страница